UNEFA Probabilidad y Estadistica 2016 I
viernes, 10 de junio de 2016
Notas de Reparación
Las notas de reparación serán entregadas el día lunes 13 de junio en el aula de costumbre (302) a la Una de la tarde.
domingo, 13 de marzo de 2016
Variable aleatoria
Variable Aleatoria
Función de probabilidadDada una v.a. discreta X llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad a cada valor de la v.a.
P[ X = xi ]
Así si la v.a. X toma los valores x1,...,xi,...,xn
la función de probabilidad asociada a cada xi una probabilida pi, verificándose siempre que pi = 1Determinación de una función de probabilidad
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será: = {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX} Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, pueden salir 0, 1, 2 o 3 caras.
De los ocho posibles resultados, en sólo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P[ X = 0 ]= 1/8. Razonando análogamente, en tres casos hay una cara P[ X = 1 ]= 3/8, en tres casos hay dos caras P[ X = 2 ]= 3/8 y en uno sólo hay tres caras P[ X = 3 ]= 1/8.
Resumido:
Función de densidad
Según la definición, una v.a. continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1] con la condición de que la suma de todas las probabilidades es 1, como hay un número infinito no numerable de valores con masa, ésta es desplecible por lo que se dice que no tienen masa
P[X = x] = 0.
Definimos una función que verifica:
Ejemplos:
1. Una calculadora genera números al azar en el
intervalo [0,1], con igual probabilidad para cada número del intervalo.
Una variable así definida es continua, y además se reparte uniformemente
la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad es :
Esta función así definida cumple las dos condiciones:
Esta función así definida cumple las dos condiciones:
2. Dada la función
determínese el valor de k para que f sea una función de densidad
Atendiendo a la definición de la función de densidad, para que f sea función de densidad 3 + k = 1 , sin más que despejar en la ecuación se deduce que k = -2
determínese el valor de k para que f sea una función de densidad
Atendiendo a la definición de la función de densidad, para que f sea función de densidad 3 + k = 1 , sin más que despejar en la ecuación se deduce que k = -2
Dada X v.a. discreta llamaremos función de distribución de X a tal que .
Si suponemos ordenados de menor a mayor los valores que toma la v.a. x0,x1,...,xi,...,xn entonces
Propiedades:
- La funcion de distribución toma valores comprendidos entre 0 y 1.
- Para todo x < x0 F(x) = 0, siendo x0 el menor de los valores que toma la v.a. X
- Para todo x > xn F(x) = 1, siendo xn el mayor valor que toma la v.a. X .
- F(x) es una función creciente (x < y => F(x) F(y) )
Dados x < y
- Si la v.a. no toma ningún valor entre ambos F(x)=F(y)
- Si la v.a. toma algún valor entre ambos, supongamos que tomase k valores xi+1,...,xi+k ( cada P[ X = xj ] ≥ 0 con j=i+1,...,i+k ) entonces
F(y) = F(x) + P[ X = xi+1 ]+ P[ X = xi+2 ]+...++ P[ X = xi+k ] y consecuentemente F(y) ≥ F(x).
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:
={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}. Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras y estudiemos su función de distribución.
Si x<0 | |
Si | |
Si | |
Si | |
Si |
En resumen | Gráficamente | |||||||||||||
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Función de densidad de probabilidad
Función de densidad de probabilidad
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