Notas de Reparación

Las notas de reparación serán entregadas el día lunes 13 de junio en el aula de costumbre (302)  a la Una de la tarde.

TEOREMA DE BAYES

Cómo funciona el Teorema de Bayes

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Variable Aleatoria

Función de probabilidad

Dada una v.a. discreta X llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad a cada valor de la v.a.

               P[ X = x_i ]

Así si la v.a. X toma los valores x₁,...,x_i,...,x_n la función de probabilidad asociada a cada x_i una probabilida p_i, verificándose siempre que p_i = 1
Determinación de una función de probabilidad
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será: = {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX} Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, pueden salir 0, 1, 2 o 3 caras.
De los ocho posibles resultados, en sólo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P[ X = 0 ]= 1/8. Razonando análogamente, en tres casos hay una cara P[ X = 1 ]= 3/8, en tres casos hay dos caras P[ X = 2 ]= 3/8 y en uno sólo hay tres caras P[ X = 3 ]= 1/8.

Resumido:
                                             

 

Función de densidad

Según la definición, una v.a. continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1] con la condición de que la suma de todas las probabilidades es 1, como hay un número infinito no numerable de valores con masa, ésta es desplecible por lo que se dice que no tienen masa
P[X = x] = 0.

Definimos  una función que verifica:

• 
• 

A esta función asociada a una v.a. continua se le llama función de densidad.
Ejemplos:

1. Una calculadora genera números al azar en el intervalo [0,1], con igual probabilidad para cada número del intervalo. Una variable así definida es continua, y además se reparte uniformemente la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad es :

Esta función así definida cumple las dos condiciones:

• 
• 

2. Dada la función

determínese el valor de k para que f sea una función de densidad

Atendiendo a la definición de la función de densidad, para que f sea función de densidad 3 + k = 1 , sin más que despejar en la ecuación se deduce que k = -2 

Función de distribución
Dada X v.a. discreta llamaremos función de distribución de X a  tal que .
Si suponemos ordenados de  menor a mayor los valores que toma la v.a. x₀,x₁,...,x_i,...,x_n entonces

Propiedades:

• La funcion de distribución toma valores comprendidos entre 0 y 1.
• Para todo x < x₀ F(x) = 0, siendo x₀ el menor de los valores que toma la v.a. X
• Para todo x > x_n F(x) = 1, siendo x_n el mayor valor que toma la v.a. X .
• F(x) es una función creciente (x < y => F(x) F(y) )
  Dados x < y
  - Si la v.a. no toma ningún valor entre ambos F(x)=F(y)
  - Si la v.a. toma algún valor entre ambos, supongamos que tomase k valores x_i+1,...,x_i+k ( cada P[ X = x_j ] ≥ 0 con j=i+1,...,i+k ) entonces
  F(y) = F(x) + P[ X = x_i+1 ]+ P[ X = x_i+2 ]+...++ P[ X = x_i+k ] y consecuentemente F(y) ≥ F(x).
  

Ejemplo:
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:
={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}. Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras y estudiemos su función de distribución.

Si x<0
Si
Si
Si
Si

   

En resumen	Gráficamente
0   si         x < 0 (1/8) si         0 ≤ x < 1 (1/2) si         1 ≤ x <2 (7/8) si         2 ≤ x <3 1   si         x ≥ 3

Función de densidad de probabilidad

Función de densidad de probabilidad

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Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Libros de estadistica

Libro 1 : PROBABILIDADYESTADISTICA  

Libro 2 :   Estadistica

Libro 3:  Estadistica y Probabilidad

Libro 4:  Curso elemental de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

Libro 5:  Probabilidad y Estadıstica Elementales para Estudiantes de Cienc

Bibliografia Recomendada

1. Canavos, G. (1997). “Probabilidad y Estadística”. México McGraw-Hill/Interaméricana.
2. Mendenhall, W. (1997). “Introducción a la Probabilidad y Estadística”. México. McGraw – Hill/Interamericana.
3. Miller, I. (1996). “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”. Prentice Hall/Hispanoaméricaca.
4. Scheaffer, G. (1995). “Probabilidad”. México. McGraw – Hill/Interamericana.
5. Walpole, R. (1997). “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”. México. Prentice Hall – Hispanoamérica.
6. Murray, Spiegel (1975) Probabilidad y Estadística: Teoría y problemas resueltos. Serie Schaum. México McGraw-Hill/Interaméricana

Fechas de Evaluaciones

Evaluación uno:   02-03-2015
Evaluación dos:   23-03-2015
Evaluación tres:   20-04-2015
Evaluación cuatro:   18-05-2015

Contenido Programático

             CONTENIDO

UNIDAD 1. TEORÍA DE PROBABILIDADES
1.1. Definición de experimento aleatorio.
1.2. Definición de espacio muestral.
1.3. Definición de eventos mutuamente excluyentes.
1.4. Principio de multiplicación y adición.
1.5. Probabilidad condicional.
1.6. Teorema de multiplicación de probabilidad.
1.7. Sucesos independientes.
1.8. Teoremas de Bayes.

UNIDAD 2. VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
2.1. Definición de variable aleatoria.
2.2. Variables aleatorias discretas.
2.3. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
2.4. Variables aleatorias continuas.
2.5. Función de densidad de una variable aleatoria continua.
2.6. Función de distribución para variables continuas y discretas.
2.7. Definición de esperanza matemática para variables discretas y continuas.
2.8. Propiedades de la esperanza matemática.
2.9. Varianza de una variable aleatoria.
2.10. Momentos de una variable aleatoria.
2.11. Función generatriz de momentos.

UNIDAD 3. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES.
3.1. Función de densidad conjunta.
3.2. Función de densidad marginal.
3.3. Función de densidad condicional, valor esperado condicional.
3.4. Variables aleatorias independientes.
3.5. Esperanza matemática de funciones de varias variables aleatorias
3.6. Extensión al caso n-dimensional.

UNIDAD 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.
4.1 Distribuciones de variables aleatorias discretas.
4.2 Distribución Binomial.
4.3 Esperanza matemática y varianza de la distribución Binomial.
4.4 Distribución de Poisson.
4.5 Esperanza matemática y varianza de la distribución de Poisson.
4.6 Distribución geométrica.
4.7 Esperanza matemática y varianza de la distribución geométrica.
4.8 Distribución hipergeométrica.
4.9 Esperanza matemática y varianza de la distribución hipergeométrica.
4.10 Distribuciones de variables aleatorias continuas.
4.11 Distribución Uniforme.
4.12 Esperanza matemática y varianza de la distribución uniforme.
4.13 Distribución Exponencial.
4.14 Esperanza matemática y varianza de la distribución Exponencial.
4.15 Distribución Gamma.
4.16 Esperanza matemática y varianza de la distribución Gamma.
4.17 Distribución normal.
4.18 Esperanza matemática y varianza de la distribución normal.
4.19 Distribución χ² de Pearson.
4.20 Esperanza matemática y varianza.

UNIDAD 5: LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL.
5.1 Desigualdad de Chebychev.
5.2 Ley de los Grandes Números.
5.3 Teorema del Límite Central.

UNIDAD 6: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA.
6.1 Definición de estadística.
6.2 Población y muestra.
6.3 Distribución de frecuencias.
6.4 Construcción de una distribución de frecuencias.
6.5 Estadística y parámetros.
6.6 Estadísticos muy importantes (media, varianza, desviación típica).
6.7 Cálculo de media, varianza y desviación típica para datos agrupados y no agrupados.

UNIDAD 7: DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO.
7.1 La teoría del muestreo como base de la estadística Inferencial.
7.2 Muestreo al azar.
7.3 Distribución χ², distribución “T” de STUDENT.
7.4 Distribución “F” de “FISCHER”.
7.5 Distribución muestral de la media aritmética.
7.6 Diferencia de medias.
7.7 El error estándar.

UNIDAD 8. TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN.
8.1 La estimación: Definición.
8.2 Estimaciones locales o de punto, sus propiedades.
8.3 Estimaciones por intervalos.
8.4 Intervalos de confianza.

UNIDAD 9. PRUEBAS DE HIPÓTESIS.
9.1 La prueba de hipótesis.
9.2 Hipótesis estadística.
9.3 Hipótesis nula.
9.4 Errores tipo I y II.
9.5 Nivel de significación.
9.6 Ilustración de las zonas de rechazo de una hipótesis nula.
9.7 Prueba estadística.
9.8 Pruebas estadística que involucran medias y varianza.

UNIDAD 10. ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN.
10.1 Análisis de correlación para dos (02) variables: Definición, cálculo, significación estadística.
10.2 Análisis de regresión para dos (02) variables: Definición, cálculo, significación estadística.